2019年无锡中考数学,几何综合压轴题,最后一问较难

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无锡中考数学最后一题,是一道几何综合题,将相似三角形、直角三角形、全等三角形和锐角三角函数结合在一起。

28.(本题满分10分)

如图1,在矩形ABCD中,BC=3,动点P从B出发,以每秒1个单位的速度,沿射线BC方向移动,作△PAB关于直线PA的对称△PAB′,设点P的运动时间为 t (s).

(1)若AB=2√3.①如图2,当点B′落在AC上时,显然△PAB′是直角三角形,求此时 t 的值;②是否存在异于图2的时刻,使得△PCB′是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的 t 的值?若不存在,请说明理由.

(2)当P点不与C点重合时,若直线PB′与直线CD相交于点M,且当 t <3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立,试探究:对于 t >3的任意时刻,结论∠PAM=45°是否总是成立?请说明理由.

第(1)小问要求时间t,就是要求出线段PB的长度,我们可以直接设PB的长度为x,利用勾股定理求解;也可以通过锐角三角函数或者相似求出PB的长度。

第(2)小问是直角三角形的存在性问题,本来要分三种情况讨论,因为三角形中每个角都可能是直角,要与第(1)小问相异的直角三角形,因此分两种情况。本小问有一个注意点,那就是点P在射线BC上移动,不是在线段BC上运动,也不是在直线BC移动。直线、射线和线段做出的答案会完全不一样。

最后一小问,当t<3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立,可以通过全等三角形证明矩形ABCD是一个正方形,然后再次通过证明三角形全等,可以得到∠PAM=45°。

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